1- المتجهات
س1 : أكمل مايأتي
1) ر = ( س ، ص) فإن || ر || =..................
2) أ= ( 6 ، -2 ) ، ب= ( 4 ، 3 ) فإن || 2 أ – 3 ب || = ..............
3) المتجه ( 2 ، 7 ) بدلالة متجهي الوحدة الاساسين = .............
4) اذا كان أ = ( 3 ، 4 ) ، ب = ( 6، ك ) وكان أ //ب فإن ك =...
4) اذا كان أ = ( 2، 5)، ب = (ك ،-4)وكان أ ┴ب فإن ك = ....
ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
س2(أ ) أوجد الصورة القطبية للمتجه و أ ( 6 ، 6 3 )
(ب) أوجد الصورة القطبية للمتجه و أ ( 8 3 ، 8 )
ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
س3 : أوجد احداثي جـ حيث و جـ = ( 12 2 ، 3 ח )
4
ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
س4: اذا كان أ = ( 2 ، 4 ) ، ب( -6 ، 3 ) ، جـ = ( 4 ، 8 )
اثبت أن أ ┴ ب ، أ // جـ ، جـ ┴ ب
2- العمليات على المتجهات
س1 : أكمل مايأتي
1) في المثلث أ ب جـ : أ ب + ب جـ + جـ أ = .........
2) في المثلث أ ب جـ : أ ب + ب جـ + أ جـ = .........
3)في الشكل أ ب جـ د هـ و : أ ب + ب جـ + جـ د + د هـ = ......
4) في متوازي الاضلاع أب جـ د : أ ب + أ جـ = ...........
5) في المثلث أ ب جـ ، د منتصف ب جـ فإن أ ب + أ جـ = ......
ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
س2 :(أ) في الشكل الرباعي أ ب جـ د اثبت أ ن
أ ب + د جـ = أ جـ + د ب ومن ذلك استنتج مايساويه ب جـ + أ د
(ب) أ ب جـ د متوازي أضلاع فيه هـ منتصف ب جـ اثبت أن
أ ب + أ د + د جـ = 2 أ هـ
ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
س3 : في الشكل الرباعي أ ب جـ د: ب جـ = 3 أ د اثبت أ ن
1) أ ب جـ د شبه منحرف
2) أ جـ + ب د = 4 أ د
ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
1) س4 : أب جـ د متوازي الاضلاع تقاطع قطراه في م ، ن نقطه في المستوى : اثبت أن (1) أ ب + أ د +2 جـ م = 0
2) ن أ + ن جـ = ن ب + ن د
3- تطبيقات على المتجهات
س1 : أكمل مايأتي :
1) اذا كان ع أ = 12 ص ، عب = 8 ص فإن ع ب أ = .............
2) يتحرك راكب دراجه بسرعه 10 كم / س ويتحرك اخر في نفس الاتجاه بسرعة 8 كم / س فإن سرعة ب بالنسبة لـ أ = ..........
3) يتحرك راكب دراجه بسرعه 15 كم / س ويتحرك اخر في الاتجاه المضاد بسرعة 10 كم / س فإن سرعة ب بالنسبة لـ أ = .........
ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
س2 : تتحرك سياره أ بسرعة 90 كم/س وسياره ب بسرعة 40 كم/ س في نفس الاتجاه أوجد سرعة أ بالنسبة لـ ب
ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
س3 : اذكان ق1 = 2 س + ص ، ق2 = س + 7ص ،
ق3 = س – 5 ص أوجد مقدار واتجاه المحصلة
ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
س4: اذا كان ق1 = 2 س +3 ص ، ق2 = أ س + ص ،
ق3 = 5 س + ب ص أوجد قيمة أ ، ب علما بأن القوى متزنة
ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
س5 : باستخدام المتجهات اثبت أن النقط أ ( 1 ، 4 ) ، ب( -1 ، -2 ) ، جـ ( 2 ، - 3 رؤوس مثلث قائم الزاوية في ب
4- تقسيم قطعة مستقيمة
س1 : أكمل مايأتي :
1) منتصف أ ( 1 ، 3 ) ب( 5 ، 7 ) هو ................
2) نقطة تلاقي متوسطات المثلث أ ب جـ : أ ( 1 ، 4 ) ،
ب( -1 ، -2 ) ، جـ ( 6 ، 4 ) هي ...............
3)
ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
س2 : اذا كان أ = ( 2 ، -1 ) ، ب ( -3 ، 4 ) أوجد جـ التي تقسم أ ب من الداخل بنسبة 3 : 2
ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
س3 : اذا كان أ = ( 2 ، 0 ) ، ب ( 1 ، -1) أوجد جـ التي تقسم
أ ب من الخارج بنسبة 5: 4
ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
س 4 : اذا كان أ ( 5 ، 2) ، ب( 2 ، - 1) فأوجد النسبة التي تنقسم بها أ ب بكل من نقط تقاطع أب مع محور السينات ومحور الصادات مبينا نوع التقسيم وأوجد نقطة التقسيم
5- معادلة الخط المستقيم
س1 : أكمل مايأتي :
1) معادلة المستقيم الذي ميله 2 ويقطع 3 وحدات من محور ص الموجب هي .........
2) اذا كان المستقيمان س + ص = 5 ، ك س +2ص=0 متوازيان فان ك = ........
3) معادلة المستقيم المار بالنقطة ( 3 ، 4 ) ويوازي محور الصادات هى ................
4) المستقيم الذي معادلته ص = 5 يوازي محور ...............
5) معادلة المستقيم الذي يقطع جزأين 3 ، 5 من محوري الاحداثيات هي ................
6) المستقيم 2س – 3ص – 6 = 0 يقطع من محور السينات جزء طوله ............و من محور الصادات جزء طوله ............
ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
س2 : أوجد المعادلة المتجهة والمعادلتان الوسيطيتان للخط المستقيم المار بالنقطة ق ( 2 ، -3 ) والمتجه ي = ( 1 ، 2 ) متجه اتجاه له
ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
س3 (أ) :أوجد المعادلة الكارتيزيه ( العامة ) للخط المستقيم المار بالنقطة ق ( 2 ، -3 ) والمتجه ي = ( 1 ، 2 ) متجه اتجاه له
(ب) أوجد معادلة الخط المستقيم المار بالنقطة (3 ، -5 ) ويوازي س +2ص-7=0
6- الزاوية بين مستقيمين
س1 : أكمل مايأتي :
1) ميل المستقيم الموازي 2 س + 3ص +1 =0 هو ........
2) معادلة المستقيم المار بنقطة الاصل و يصنع زاوية 545 هي .........................
3) اذا كان المستقيمان3 س -4ص+1= 0، ك ص +4س=0 متعامدان فان ك =.....
4) قياس الزاوية بين بين المستقيمان س= 5 ، ص= 7=.....
5) قياس الزاوية بين بين المستقيمان الذي ميلاهما -2 ، 0,5=....
ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
س2 : أوجد قياس الزاوية الحادة بين المستقيمان
3س – 4ص – 11 = 0 ، س + 7ص + 5 = 0
ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
س3 : أوجد قياس الزاوية الحادة بين المستقيمان
2ص = 3 ، ر = ( 0 ، 5 ) + ك ( 1 ، 2 )
ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
(أ) أ ب جـ مثلث فيه أ ( 0 ، 5 ) ، ب ( 2 ، - 1 ) جـ ( 6 ، 3 ) اثبت أن المثلث متساوي الساقين ثم أوجد ق( < أ)
(ب) : أوجد قيمة ك اذا كان قياس الزاوية الحادة بين المستقيمان س – 4ص – 11 = 0 ، س + ك ص + 5 = 0 هي 45 5
7- طول العمود
س1 : أكمل مايأتي :
1) طول العمود المرسوم من النقطة (-3 ، 5 ) على محور السينات = ...... وعلى محور الصادات = ........
2) طول العمود المرسوم من النقطة (1 ،1 ) على المستقيم الذي معادلته س + ص = 0 هو ...............
3) طول العمود المرسوم من النقطة (4 ،-5) على المستقيم الذي معادلته 3س -4 ص +8 = 0 هو ...............
ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
س2 : طول العمود المرسوم من النقطة (2 ،-5) على المستقيم
ر = ( -1 ، 0 ) + ك ( 12 ، 5)هو
ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
س3 : أوجد طول العمود المرسوم من النقطة (5 ،2 ) على المستقيم المار بالنقطتين ( 0 ، - 3 ) ، ( 4 ، 0 )
ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
س4 ( أ) أ ب جـ مثلث أ ( 6 ، -2 ) ، ب ( 4 ، 4 ) جـ ( 1 ، 0) أوجد طول العمود المرسوم من أ عمودي على ب جـ ثم احسب مساحة المثلث أ ب جـ
8- نقطة تقاطع مستقيمين
س1 : أكمل مايأتي :
1) نقطة تقاطع المستقيمين س= 3 ، ص = 5 هي ..........
2) نقطة تقاطع المستقيمين س= 3 ، 2 ص = 8هي ..........
3) نقطة تقاطع المستقيمين 2س +ص= 4 ، س- ص = 5 هي .........
ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
س2 : اثبت أن المستقيمان 2س -3ص + 4 = 0 ، ر = (1 ، 2 )+ ك( -2 ، 3 ) متقاطعان على التعامد ثم أوجد نقطة تقاطعهما ومعادلة المستقيم المار بنقطة التقاطع والنقطة ( - 2 ، 3 )
ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
س3 (أ) أوجد معادلة المستقيم المار بنقطة تقاطع المستقيمين
س + 2 ص – 5 = 0 ، 2س – 3ص + 4 = 0 وميله 2
(ب) اثبت أن المستقيمان متوازيان وأوجد البعد بينهما
3س -4 ص -7 = 0 ، 3س -4 ص +11= 0
الجبر 1- المصفوفات
س1 : أكمل مايأتي :
1) إذا كانت المصفوفه أ على النظم 3 × 3 فإن عدد عناصر أ = ..
2) نظم المصفوفة أ= 1 5 7 هو ......... ، أ12 =......
3 1 8 ، أ مد = ...
3) شروط تساوي مصفوفتان هي ................ ، ..................
4) اذا كانت أ مصفوفة مربعة فانها تكون متماثلة اذا كان ........... وتكون شبه متماثلة اذا كان ...............
ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
س2 : اكتب عناصر المصفوفة أ = أ ص ع ، ص = 1 ، 2 ، ع = 1 ، 2 ، 3 ثم أوجد المصفوفة اذاكان أ ص ع = ص + ع -2
ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
س3 : اذا كان ( 3 س س+ص س-ع ) = ( -9 4 -10 )
أوجد قيمة س ، ص، ع ومانوع هاتان المصفوفتان ونظمها
ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
س4 : اذا كان أ + ب أ – ب = 9 -3
أ+ب+جـ أ-ب+2د 7 5
أوجد قيمة أ، ب، جـ ، د ومانوع هاتان المصفوفتان ونظمها
2- جمع وطرح المصفوفات
س1 : أكمل مايأتي :
1) شرط جمع مصفوفتان هو .....................
2) اذا كانت المصفوفة أ على النظم 2 × 3 ، ب مد على النظم
3× 2 فإن المصفوفة 5أ + ب تكون على النظم ..............
3)العنصر المحايد الجمعي في المصفوفات هو ......
3) إذا كان أ + ( 1 2) = (5 6 )فإن المصفوفة أ = .....
ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
س2: اذا كان أ = 2 -1 ، ب = -1 4 جـ = 1 - 3
-3 5 6 -2 0 3
أوجد المصفوفة س = 2أ – 3ب + 4 جـ
ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
س3 : أ = 2 -1 4 ، ب = -1 4 5
6 - 2 0 0 1 3
حقق أن ( أ + ب ) مد = أ مد + ب مد
ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
س4 : ( أ) أوجد قيمة أ ، ب ، جـ ، د إذا كان
-2 3 + أ ب = 1 0
4 -1 جـ د 2 3
3- ضرب المصفوفات
س1 : أكمل مايأتي :
1) شرط ضرب مصفوفتان هو .....................
2) اذا كانت المصفوفة أ على النظم 2 × 3 ، ب مد على النظم
1 × 3 فإن المصفوفة أب تكون على النظم ...........
3) ( 1 2 ) 3 = ...............
4
4) اذا كان أ = 3 4 فإن أ 2 = .........................
2 0
ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
س2 : أ = 2 -1 ، ب = -1 4 5
6 - 2 0 1 3
حقق أن ( أ ب ) مد = ب مد أ مد
ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
(ب) إذا كان أ مد = 2 -4 فاثبت أن أ2 – 5 أ + 22 I =
4 3
4- المحددات
س1 : أكمل مايأتي :
1) قيمة المحدد 5 7 = .............
3 8
2) إذا كان 2س 2 = 10 فإن س = ...........
4 3
3) قيمة المحدد 1 2 3
0 س 5 = 18 فإن س = .............
0 0 2س
ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
س2 : أوجد قيم س التي تحقق المعادلة 1 0 0
1 س س = 3
5 2 س
ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
س3 : باستخدام المحددات أوجد مساحة المثلث الذي رؤوسه
( 2 ، 4 ) ، ( 5 ، 2 ) ، ( -3 ، -2 )
ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
س 4 حل المعادلتين بطريقة كرامر
2 س – 3 ص = 3 ، س + 2 ص = 5
5- المعكوس الضربي للمصفوفة
س1 : أكمل مايأتي :
1) قيم أ التي تجعل المصقوفة أ 2 لها معكوس ضربي = ...
8 أ
2) قيم س التي تجعل المصقوفة س 9 ليس لها
4 س
معكوس ضربي = .......
3)لأي مصفوفة أ لها معكوس ضربي يكون أ × أ -1 = ..........
ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
س2 : أوجد المعكوس الضربي للمصفوفة أ = -1 0
8 -2
ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
س3 حل المعادلتين باستخدام المصفوفات :
2 س – 3 ص = 4 ، 3 س + 4 ص = 23
6- حل المتباينات من الدرجة الأولى
س1 : أكمل مايأتي :
1) مجمموعة حل المتباينة 3 س + 5 ≥ 2 هي .....................
2) مجمموعة حل المتباينة 3 س -9 > 6س هي ..................
3) مجمموعة حل المتباينة 2<س-1 < 5 هي .....................
4) مجمموعة حل المتباينة 6+س < 3س +2 < 14 + س هي .....................
ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
س2 : مثل بيانيا مجموعة حل المتباينة 2س – 5ص≤ 10
ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
س2 : مثل بيانيا مجموعة حل المتباينة 2س –ص > 6
6- حل متباينتين أو أكثر معا
س1 : حل المتباينات بيانيا ص ≥2س +6 ، ص + 3س < -1
ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
س2: حل المتباينات بيانيا 4ص ≥6س ، 2ص-3س < -6
ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
س3: يريد أحمد عمل حديقة مستطيلة لايقل طولها عن 80 م ولايزيد محيطها عن 310 وضح بيانيا الأبعاد الممكنة للحظيرة
7- البرمجة الخطية
س1 : باستخدام البرمجة الخطية أوجد النقطة التي تجعل الدلة
ر= 3س + 2ص قيمة عظمى تحت القيود س≥ 0 ، ص ≥ 0 ،
س + ص ≤ 8 ، ص ≥ 3
س2: ينتج مصنع أغذية نوعين ، النوع الأول يحتوي وحدتين من فيتامين أ ، 3 فيتامين ب والنوع الثاني يحتوي 3 فيتامين أ ، و 2 فيتامين ب فاذا كان الطفل يحتاج 10 وحدة من فيتامين أ على الأقل ، 100 وحدة من فيتامين ب على الأقل وتكلفة النوع الأول 5 جنيهات والثاني 4 جنيهات ماهي الكميىة التي يجب شرائها لتحقيق مايحتاجه الطفل بأقل تكلفة
حساب المثلثات 1- المتطابقات المثلثية
س1 : اكمل ما يأتي
1) جا2 س + جتا 2 س= .......... ، جا2 5س + جتا 2 5س =.....
2) 1 + ظا2 س = ........ ، 1 + ظتا 2 7س = ........
3) ظا س ظتا س =................ ، جا 3س قتا 3س = ......
ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
س2 : اثبت صحة المتطابقات الاتية
(أ) ( جا س + جتا س ) 2 – 2 جا س جتا س =1
(ب) 1 + ظا 2س = ظا 2س
1 + ظتا 2 س
(جـ) ظا س + ظتا س = قا س قتاس
(د) 1 – ظتا 2 س = 2 جا2 س – 1
1 +ظتا 2 س
(هـ) جتا 2 س = 1 + جا س
1 - جا س
2 – حل المعادلات المثلثية
س1 : اكمل ما يأتي :
1) الحل العام للمعادلة جا س = 1 هو ..........................
2
2) الحل العام للمعادلة 2 جتا س = 2 هو ..........................
3) الحل العام للمعادلة ظا س = 3 هو ..........................
ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
س2 : أوجد الحل العام للمعادلات الاتية
(أ) 2 جاس جتاس = جاس
(ب) جتا 2 س – جتا س = 0
ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
س3 : أوجد مجموعة حل المعادلات الاتية في الفتره [ 0 ، 360 [
(أ) 2 جا س جتاس + 3 جتاس = 0
(ب) 4 جا 2 س – 3 جاس جتاس = 0
3- حل المثلث القائم الزاوية
س1 : حل المثلث أ ب جـ القائم الزاوية في ب حيث أ ب = 8 سم ، ب جـ = = 12 سم .
س2: حل المثلث أ ب جـ القائم الزاوية في ب حيث أ ب = 16سم ، ق( < جـ ) = = 50 5
س3 : دائرة طول نصف قطرها 6سم رسم فيها وتر يقابل زاوية مركزية قياسها 108 احسب طول الوتر لأقرب رقمين عشريين
جـ
س4 : في الشكل المقابل أ ب قطر
أجـ = 12 سم ، ق(< ب ) = 37 أ ب
أوجد طول نصف قطر الدائرة
4- زوايا الارتفاع والانخفاض
س1 : يقف شخص على بعد 50 متر من قاعدة رصد زاوية ارتفاع قمة البرج فوجدها 25 أوجد ارتفاع البرج لأقرب متر
س2 : من قمة برج ارتفاعه 60 متر وجد أن قياس زاوية انخفاض جسم واقع في المستوى الافقي المار بقاعدة البرج 36 / 28 5 أوجد بعد الجسم عن قاعدة البرج
س3 : عمود انارة طوله 7.2 متر يلقى ظلا على الارض طوله 4.8 متر أوجد بالراديان قياس زاوية ارتفاع أشعة الشمس عندئذ
س4 : وقف شخص على صخرة ارتفاعهع 50 متر ولاحظ سفينتين في البحر وقاس زاويتا انخفاضيهما 38 ، 55 أوجد البعد بينهما .
5- القطاع الدائري و القطعة الدائرية
س1 : أكمل ما يأتي :
1) مساحة القطاع الدائري = ................. = ................. = .........
بينما مساحة القطعة الدائرية = ......................
2) قطاع دائري طول نصف قطر دائرته6 سم وطول قوسه 10 سم فإن مساحته = ..................
3) قطاع دائري مساحته 20 سم2 وطول قوسه 5 سم فإن طول نصف قطر دائرته = ....................................
ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
س1 : قطاع دائري طول نصف قطر دائرته10سم وقياس زاويته
1.2 د أوجد مساحته
س2 : : قطاع دائري طول قطر دائرته 32 سم وقياس زاويته
120 5 أوجد مساحته
س3 : أوجد مساحة قطاع دائر محيطه = 28 سم وطول نصف قطر دائرته = 8 سم
س4 : قطعة دائرية طول نصف قطر دائرتها 8 سم ، قياس زاويتها 150 5 أوجد مساحتها
6- المساحات
س1 : أكمل ما يأتي :
1) مساحة المثلث = .................................................
2) مساحة المثلث الذي طولا ضلعين فيه 7 ، 9 سم وقياس الزاوية بينهما 30 هي ...................
3) مساحة الشكل الرباعي = .......................
4) مساحة المعين الذي طولا قطريه 6 سم ، 8 سم = ..............
5) مساحة المربع الذي طول قطره 10 سم = ............
5) مساحة المضلع المنتظم = ..............
6) مساحة الخماسي المنتظم الذي طول ضلعه 16 سم = ...........
ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
س2: أوجد مساحة المثلث أ ب جـ : أ ب = 9 سم ، أ جـ = 12 سم ، ق( < أ ) = 48 (لأقرب رقمين عشريين )
س3 : أوجد مساحة الشكل الرباعي الذي طولا قطريه فيه 20، 15 سم وقياس الزاوية بينهما 30
س4 : أوجد مساحة الشكل الثماني المنتظم الذي طول ضلعه 6 سم
ـــــــــــــــــــــــــــ قوانين حساب المثلثات ـــــــــــــــــــــــــــــــــــ
1) جا2 س+جتا2 س= 1 ، 1+ ظا2 س = قا2 س،
1 + ظتا2 س = قتا2س
2) قتا س = 1 ، قاس = 1 ، ظاس =جاس ، ظتاس = جتاس
جاس جتاس جتاس جاس
3)مساحة القطاع الدائري = 1 ل نق = 1 هـد نق2 = س5 × ط نق2
محيط القطاع=2نق+ل 2 2 360
4)مساحة القطعة الدائرية = 1 نق2 (هـد – جا هـ )
2
5) مساحة المثلث = 1 حاصل ضرب ضلعين × جيب الزاوية المحصورة بينهما 2
6) مساحة الشكل الرباعي = 1 حاصل ضرب القطرين × جيب الزاوية المحصورة بينهما 2
مساحة المضلع المنتظم = 1 س 2 × ظتا ח
4 ن
ـــــــــــــــــــــــــــــــ قوانين الهندسة التحليلية ــــــــــــــــــــــــــــــــ
1) قانون المعيار اذا كان أ= ( س ، ص ) فإن || أ ||= س 2 + ص 2
(2) قانون الصورة القطبية ( المعيار ، الزاوية ) ، ظا Ө = ص
س
(3) قانون الصورة الاحداثية ( س ، ص ) حيث
س= المعيار × جتا Ө ، ص = المعيار جا Ө
(4) اذا كان أ = ( س1 ، ص1 ) ، ب = ( س2 ، ص2 )
فإن أ يوازي ب عندما س1 ص2 – س2 ص 1 = 0
، أ عمدودي على ب عندما س1 س2 + ص1 ص2 = 0
(5) اذا كان المتجه أ = ثابت × المتجه ب فإن أ // ب
(6) قانون جمع وطرح المتجهات أ
في أي مثلث أ ب جـ يكون
أ ب + ب جـ = أ جـ ، أب – أ جـ = جـ ب
واذا كان د منتصف ب جـ ( أد متوسط )
فإن أ ب + أ جـ = 2 أ د ب جـ
د
(7) قاعدة متوازي الأضلاع اذا كان أ ب جـ د متوازي أضلاع فإن
أ ب + أ د = 2 أ جـ
(8) السرعة النسبية لـ ب بالنسبة لـ أ هي عب أ = عب - عأ
(9) قانون تقسيم قطعة مستقيمة جـ = ل1 ر1 + ل2 ر2
ل1 + ل2
(10) المعادلة المتجهة ر = ق + ك ي
(11) المعادلة العامة ص - ص 1 = م
س - س1
(12) قانون الزاوية بين مستقيمين ظا هـ = م1 – م2
1+ م1 م2
(13 ) قانون طول العمود ل = أ س1 + ب ص1 + جـ
أ 2 + ب 2
(14) شرط توازي مستقيمين هو م1 = م 2
، وشرط تعامد مستقيمين هو م1 × م2 = -1
(15) ميل المستقيم الموازي لمحور السينات = صفر
(16) ميل المستقيم الموازي لمحور الصادات = غير معرف
س1 : أكمل مايأتي
1) ر = ( س ، ص) فإن || ر || =..................
2) أ= ( 6 ، -2 ) ، ب= ( 4 ، 3 ) فإن || 2 أ – 3 ب || = ..............
3) المتجه ( 2 ، 7 ) بدلالة متجهي الوحدة الاساسين = .............
4) اذا كان أ = ( 3 ، 4 ) ، ب = ( 6، ك ) وكان أ //ب فإن ك =...
4) اذا كان أ = ( 2، 5)، ب = (ك ،-4)وكان أ ┴ب فإن ك = ....
ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
س2(أ ) أوجد الصورة القطبية للمتجه و أ ( 6 ، 6 3 )
(ب) أوجد الصورة القطبية للمتجه و أ ( 8 3 ، 8 )
ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
س3 : أوجد احداثي جـ حيث و جـ = ( 12 2 ، 3 ח )
4
ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
س4: اذا كان أ = ( 2 ، 4 ) ، ب( -6 ، 3 ) ، جـ = ( 4 ، 8 )
اثبت أن أ ┴ ب ، أ // جـ ، جـ ┴ ب
2- العمليات على المتجهات
س1 : أكمل مايأتي
1) في المثلث أ ب جـ : أ ب + ب جـ + جـ أ = .........
2) في المثلث أ ب جـ : أ ب + ب جـ + أ جـ = .........
3)في الشكل أ ب جـ د هـ و : أ ب + ب جـ + جـ د + د هـ = ......
4) في متوازي الاضلاع أب جـ د : أ ب + أ جـ = ...........
5) في المثلث أ ب جـ ، د منتصف ب جـ فإن أ ب + أ جـ = ......
ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
س2 :(أ) في الشكل الرباعي أ ب جـ د اثبت أ ن
أ ب + د جـ = أ جـ + د ب ومن ذلك استنتج مايساويه ب جـ + أ د
(ب) أ ب جـ د متوازي أضلاع فيه هـ منتصف ب جـ اثبت أن
أ ب + أ د + د جـ = 2 أ هـ
ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
س3 : في الشكل الرباعي أ ب جـ د: ب جـ = 3 أ د اثبت أ ن
1) أ ب جـ د شبه منحرف
2) أ جـ + ب د = 4 أ د
ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
1) س4 : أب جـ د متوازي الاضلاع تقاطع قطراه في م ، ن نقطه في المستوى : اثبت أن (1) أ ب + أ د +2 جـ م = 0
2) ن أ + ن جـ = ن ب + ن د
3- تطبيقات على المتجهات
س1 : أكمل مايأتي :
1) اذا كان ع أ = 12 ص ، عب = 8 ص فإن ع ب أ = .............
2) يتحرك راكب دراجه بسرعه 10 كم / س ويتحرك اخر في نفس الاتجاه بسرعة 8 كم / س فإن سرعة ب بالنسبة لـ أ = ..........
3) يتحرك راكب دراجه بسرعه 15 كم / س ويتحرك اخر في الاتجاه المضاد بسرعة 10 كم / س فإن سرعة ب بالنسبة لـ أ = .........
ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
س2 : تتحرك سياره أ بسرعة 90 كم/س وسياره ب بسرعة 40 كم/ س في نفس الاتجاه أوجد سرعة أ بالنسبة لـ ب
ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
س3 : اذكان ق1 = 2 س + ص ، ق2 = س + 7ص ،
ق3 = س – 5 ص أوجد مقدار واتجاه المحصلة
ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
س4: اذا كان ق1 = 2 س +3 ص ، ق2 = أ س + ص ،
ق3 = 5 س + ب ص أوجد قيمة أ ، ب علما بأن القوى متزنة
ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
س5 : باستخدام المتجهات اثبت أن النقط أ ( 1 ، 4 ) ، ب( -1 ، -2 ) ، جـ ( 2 ، - 3 رؤوس مثلث قائم الزاوية في ب
4- تقسيم قطعة مستقيمة
س1 : أكمل مايأتي :
1) منتصف أ ( 1 ، 3 ) ب( 5 ، 7 ) هو ................
2) نقطة تلاقي متوسطات المثلث أ ب جـ : أ ( 1 ، 4 ) ،
ب( -1 ، -2 ) ، جـ ( 6 ، 4 ) هي ...............
3)
ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
س2 : اذا كان أ = ( 2 ، -1 ) ، ب ( -3 ، 4 ) أوجد جـ التي تقسم أ ب من الداخل بنسبة 3 : 2
ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
س3 : اذا كان أ = ( 2 ، 0 ) ، ب ( 1 ، -1) أوجد جـ التي تقسم
أ ب من الخارج بنسبة 5: 4
ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
س 4 : اذا كان أ ( 5 ، 2) ، ب( 2 ، - 1) فأوجد النسبة التي تنقسم بها أ ب بكل من نقط تقاطع أب مع محور السينات ومحور الصادات مبينا نوع التقسيم وأوجد نقطة التقسيم
5- معادلة الخط المستقيم
س1 : أكمل مايأتي :
1) معادلة المستقيم الذي ميله 2 ويقطع 3 وحدات من محور ص الموجب هي .........
2) اذا كان المستقيمان س + ص = 5 ، ك س +2ص=0 متوازيان فان ك = ........
3) معادلة المستقيم المار بالنقطة ( 3 ، 4 ) ويوازي محور الصادات هى ................
4) المستقيم الذي معادلته ص = 5 يوازي محور ...............
5) معادلة المستقيم الذي يقطع جزأين 3 ، 5 من محوري الاحداثيات هي ................
6) المستقيم 2س – 3ص – 6 = 0 يقطع من محور السينات جزء طوله ............و من محور الصادات جزء طوله ............
ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
س2 : أوجد المعادلة المتجهة والمعادلتان الوسيطيتان للخط المستقيم المار بالنقطة ق ( 2 ، -3 ) والمتجه ي = ( 1 ، 2 ) متجه اتجاه له
ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
س3 (أ) :أوجد المعادلة الكارتيزيه ( العامة ) للخط المستقيم المار بالنقطة ق ( 2 ، -3 ) والمتجه ي = ( 1 ، 2 ) متجه اتجاه له
(ب) أوجد معادلة الخط المستقيم المار بالنقطة (3 ، -5 ) ويوازي س +2ص-7=0
6- الزاوية بين مستقيمين
س1 : أكمل مايأتي :
1) ميل المستقيم الموازي 2 س + 3ص +1 =0 هو ........
2) معادلة المستقيم المار بنقطة الاصل و يصنع زاوية 545 هي .........................
3) اذا كان المستقيمان3 س -4ص+1= 0، ك ص +4س=0 متعامدان فان ك =.....
4) قياس الزاوية بين بين المستقيمان س= 5 ، ص= 7=.....
5) قياس الزاوية بين بين المستقيمان الذي ميلاهما -2 ، 0,5=....
ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
س2 : أوجد قياس الزاوية الحادة بين المستقيمان
3س – 4ص – 11 = 0 ، س + 7ص + 5 = 0
ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
س3 : أوجد قياس الزاوية الحادة بين المستقيمان
2ص = 3 ، ر = ( 0 ، 5 ) + ك ( 1 ، 2 )
ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
(أ) أ ب جـ مثلث فيه أ ( 0 ، 5 ) ، ب ( 2 ، - 1 ) جـ ( 6 ، 3 ) اثبت أن المثلث متساوي الساقين ثم أوجد ق( < أ)
(ب) : أوجد قيمة ك اذا كان قياس الزاوية الحادة بين المستقيمان س – 4ص – 11 = 0 ، س + ك ص + 5 = 0 هي 45 5
7- طول العمود
س1 : أكمل مايأتي :
1) طول العمود المرسوم من النقطة (-3 ، 5 ) على محور السينات = ...... وعلى محور الصادات = ........
2) طول العمود المرسوم من النقطة (1 ،1 ) على المستقيم الذي معادلته س + ص = 0 هو ...............
3) طول العمود المرسوم من النقطة (4 ،-5) على المستقيم الذي معادلته 3س -4 ص +8 = 0 هو ...............
ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
س2 : طول العمود المرسوم من النقطة (2 ،-5) على المستقيم
ر = ( -1 ، 0 ) + ك ( 12 ، 5)هو
ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
س3 : أوجد طول العمود المرسوم من النقطة (5 ،2 ) على المستقيم المار بالنقطتين ( 0 ، - 3 ) ، ( 4 ، 0 )
ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
س4 ( أ) أ ب جـ مثلث أ ( 6 ، -2 ) ، ب ( 4 ، 4 ) جـ ( 1 ، 0) أوجد طول العمود المرسوم من أ عمودي على ب جـ ثم احسب مساحة المثلث أ ب جـ
8- نقطة تقاطع مستقيمين
س1 : أكمل مايأتي :
1) نقطة تقاطع المستقيمين س= 3 ، ص = 5 هي ..........
2) نقطة تقاطع المستقيمين س= 3 ، 2 ص = 8هي ..........
3) نقطة تقاطع المستقيمين 2س +ص= 4 ، س- ص = 5 هي .........
ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
س2 : اثبت أن المستقيمان 2س -3ص + 4 = 0 ، ر = (1 ، 2 )+ ك( -2 ، 3 ) متقاطعان على التعامد ثم أوجد نقطة تقاطعهما ومعادلة المستقيم المار بنقطة التقاطع والنقطة ( - 2 ، 3 )
ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
س3 (أ) أوجد معادلة المستقيم المار بنقطة تقاطع المستقيمين
س + 2 ص – 5 = 0 ، 2س – 3ص + 4 = 0 وميله 2
(ب) اثبت أن المستقيمان متوازيان وأوجد البعد بينهما
3س -4 ص -7 = 0 ، 3س -4 ص +11= 0
الجبر 1- المصفوفات
س1 : أكمل مايأتي :
1) إذا كانت المصفوفه أ على النظم 3 × 3 فإن عدد عناصر أ = ..
2) نظم المصفوفة أ= 1 5 7 هو ......... ، أ12 =......
3 1 8 ، أ مد = ...
3) شروط تساوي مصفوفتان هي ................ ، ..................
4) اذا كانت أ مصفوفة مربعة فانها تكون متماثلة اذا كان ........... وتكون شبه متماثلة اذا كان ...............
ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
س2 : اكتب عناصر المصفوفة أ = أ ص ع ، ص = 1 ، 2 ، ع = 1 ، 2 ، 3 ثم أوجد المصفوفة اذاكان أ ص ع = ص + ع -2
ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
س3 : اذا كان ( 3 س س+ص س-ع ) = ( -9 4 -10 )
أوجد قيمة س ، ص، ع ومانوع هاتان المصفوفتان ونظمها
ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
س4 : اذا كان أ + ب أ – ب = 9 -3
أ+ب+جـ أ-ب+2د 7 5
أوجد قيمة أ، ب، جـ ، د ومانوع هاتان المصفوفتان ونظمها
2- جمع وطرح المصفوفات
س1 : أكمل مايأتي :
1) شرط جمع مصفوفتان هو .....................
2) اذا كانت المصفوفة أ على النظم 2 × 3 ، ب مد على النظم
3× 2 فإن المصفوفة 5أ + ب تكون على النظم ..............
3)العنصر المحايد الجمعي في المصفوفات هو ......
3) إذا كان أ + ( 1 2) = (5 6 )فإن المصفوفة أ = .....
ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
س2: اذا كان أ = 2 -1 ، ب = -1 4 جـ = 1 - 3
-3 5 6 -2 0 3
أوجد المصفوفة س = 2أ – 3ب + 4 جـ
ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
س3 : أ = 2 -1 4 ، ب = -1 4 5
6 - 2 0 0 1 3
حقق أن ( أ + ب ) مد = أ مد + ب مد
ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
س4 : ( أ) أوجد قيمة أ ، ب ، جـ ، د إذا كان
-2 3 + أ ب = 1 0
4 -1 جـ د 2 3
3- ضرب المصفوفات
س1 : أكمل مايأتي :
1) شرط ضرب مصفوفتان هو .....................
2) اذا كانت المصفوفة أ على النظم 2 × 3 ، ب مد على النظم
1 × 3 فإن المصفوفة أب تكون على النظم ...........
3) ( 1 2 ) 3 = ...............
4
4) اذا كان أ = 3 4 فإن أ 2 = .........................
2 0
ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
س2 : أ = 2 -1 ، ب = -1 4 5
6 - 2 0 1 3
حقق أن ( أ ب ) مد = ب مد أ مد
ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
(ب) إذا كان أ مد = 2 -4 فاثبت أن أ2 – 5 أ + 22 I =
4 3
4- المحددات
س1 : أكمل مايأتي :
1) قيمة المحدد 5 7 = .............
3 8
2) إذا كان 2س 2 = 10 فإن س = ...........
4 3
3) قيمة المحدد 1 2 3
0 س 5 = 18 فإن س = .............
0 0 2س
ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
س2 : أوجد قيم س التي تحقق المعادلة 1 0 0
1 س س = 3
5 2 س
ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
س3 : باستخدام المحددات أوجد مساحة المثلث الذي رؤوسه
( 2 ، 4 ) ، ( 5 ، 2 ) ، ( -3 ، -2 )
ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
س 4 حل المعادلتين بطريقة كرامر
2 س – 3 ص = 3 ، س + 2 ص = 5
5- المعكوس الضربي للمصفوفة
س1 : أكمل مايأتي :
1) قيم أ التي تجعل المصقوفة أ 2 لها معكوس ضربي = ...
8 أ
2) قيم س التي تجعل المصقوفة س 9 ليس لها
4 س
معكوس ضربي = .......
3)لأي مصفوفة أ لها معكوس ضربي يكون أ × أ -1 = ..........
ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
س2 : أوجد المعكوس الضربي للمصفوفة أ = -1 0
8 -2
ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
س3 حل المعادلتين باستخدام المصفوفات :
2 س – 3 ص = 4 ، 3 س + 4 ص = 23
6- حل المتباينات من الدرجة الأولى
س1 : أكمل مايأتي :
1) مجمموعة حل المتباينة 3 س + 5 ≥ 2 هي .....................
2) مجمموعة حل المتباينة 3 س -9 > 6س هي ..................
3) مجمموعة حل المتباينة 2<س-1 < 5 هي .....................
4) مجمموعة حل المتباينة 6+س < 3س +2 < 14 + س هي .....................
ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
س2 : مثل بيانيا مجموعة حل المتباينة 2س – 5ص≤ 10
ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
س2 : مثل بيانيا مجموعة حل المتباينة 2س –ص > 6
6- حل متباينتين أو أكثر معا
س1 : حل المتباينات بيانيا ص ≥2س +6 ، ص + 3س < -1
ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
س2: حل المتباينات بيانيا 4ص ≥6س ، 2ص-3س < -6
ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
س3: يريد أحمد عمل حديقة مستطيلة لايقل طولها عن 80 م ولايزيد محيطها عن 310 وضح بيانيا الأبعاد الممكنة للحظيرة
7- البرمجة الخطية
س1 : باستخدام البرمجة الخطية أوجد النقطة التي تجعل الدلة
ر= 3س + 2ص قيمة عظمى تحت القيود س≥ 0 ، ص ≥ 0 ،
س + ص ≤ 8 ، ص ≥ 3
س2: ينتج مصنع أغذية نوعين ، النوع الأول يحتوي وحدتين من فيتامين أ ، 3 فيتامين ب والنوع الثاني يحتوي 3 فيتامين أ ، و 2 فيتامين ب فاذا كان الطفل يحتاج 10 وحدة من فيتامين أ على الأقل ، 100 وحدة من فيتامين ب على الأقل وتكلفة النوع الأول 5 جنيهات والثاني 4 جنيهات ماهي الكميىة التي يجب شرائها لتحقيق مايحتاجه الطفل بأقل تكلفة
حساب المثلثات 1- المتطابقات المثلثية
س1 : اكمل ما يأتي
1) جا2 س + جتا 2 س= .......... ، جا2 5س + جتا 2 5س =.....
2) 1 + ظا2 س = ........ ، 1 + ظتا 2 7س = ........
3) ظا س ظتا س =................ ، جا 3س قتا 3س = ......
ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
س2 : اثبت صحة المتطابقات الاتية
(أ) ( جا س + جتا س ) 2 – 2 جا س جتا س =1
(ب) 1 + ظا 2س = ظا 2س
1 + ظتا 2 س
(جـ) ظا س + ظتا س = قا س قتاس
(د) 1 – ظتا 2 س = 2 جا2 س – 1
1 +ظتا 2 س
(هـ) جتا 2 س = 1 + جا س
1 - جا س
2 – حل المعادلات المثلثية
س1 : اكمل ما يأتي :
1) الحل العام للمعادلة جا س = 1 هو ..........................
2
2) الحل العام للمعادلة 2 جتا س = 2 هو ..........................
3) الحل العام للمعادلة ظا س = 3 هو ..........................
ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
س2 : أوجد الحل العام للمعادلات الاتية
(أ) 2 جاس جتاس = جاس
(ب) جتا 2 س – جتا س = 0
ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
س3 : أوجد مجموعة حل المعادلات الاتية في الفتره [ 0 ، 360 [
(أ) 2 جا س جتاس + 3 جتاس = 0
(ب) 4 جا 2 س – 3 جاس جتاس = 0
3- حل المثلث القائم الزاوية
س1 : حل المثلث أ ب جـ القائم الزاوية في ب حيث أ ب = 8 سم ، ب جـ = = 12 سم .
س2: حل المثلث أ ب جـ القائم الزاوية في ب حيث أ ب = 16سم ، ق( < جـ ) = = 50 5
س3 : دائرة طول نصف قطرها 6سم رسم فيها وتر يقابل زاوية مركزية قياسها 108 احسب طول الوتر لأقرب رقمين عشريين
جـ
س4 : في الشكل المقابل أ ب قطر
أجـ = 12 سم ، ق(< ب ) = 37 أ ب
أوجد طول نصف قطر الدائرة
4- زوايا الارتفاع والانخفاض
س1 : يقف شخص على بعد 50 متر من قاعدة رصد زاوية ارتفاع قمة البرج فوجدها 25 أوجد ارتفاع البرج لأقرب متر
س2 : من قمة برج ارتفاعه 60 متر وجد أن قياس زاوية انخفاض جسم واقع في المستوى الافقي المار بقاعدة البرج 36 / 28 5 أوجد بعد الجسم عن قاعدة البرج
س3 : عمود انارة طوله 7.2 متر يلقى ظلا على الارض طوله 4.8 متر أوجد بالراديان قياس زاوية ارتفاع أشعة الشمس عندئذ
س4 : وقف شخص على صخرة ارتفاعهع 50 متر ولاحظ سفينتين في البحر وقاس زاويتا انخفاضيهما 38 ، 55 أوجد البعد بينهما .
5- القطاع الدائري و القطعة الدائرية
س1 : أكمل ما يأتي :
1) مساحة القطاع الدائري = ................. = ................. = .........
بينما مساحة القطعة الدائرية = ......................
2) قطاع دائري طول نصف قطر دائرته6 سم وطول قوسه 10 سم فإن مساحته = ..................
3) قطاع دائري مساحته 20 سم2 وطول قوسه 5 سم فإن طول نصف قطر دائرته = ....................................
ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
س1 : قطاع دائري طول نصف قطر دائرته10سم وقياس زاويته
1.2 د أوجد مساحته
س2 : : قطاع دائري طول قطر دائرته 32 سم وقياس زاويته
120 5 أوجد مساحته
س3 : أوجد مساحة قطاع دائر محيطه = 28 سم وطول نصف قطر دائرته = 8 سم
س4 : قطعة دائرية طول نصف قطر دائرتها 8 سم ، قياس زاويتها 150 5 أوجد مساحتها
6- المساحات
س1 : أكمل ما يأتي :
1) مساحة المثلث = .................................................
2) مساحة المثلث الذي طولا ضلعين فيه 7 ، 9 سم وقياس الزاوية بينهما 30 هي ...................
3) مساحة الشكل الرباعي = .......................
4) مساحة المعين الذي طولا قطريه 6 سم ، 8 سم = ..............
5) مساحة المربع الذي طول قطره 10 سم = ............
5) مساحة المضلع المنتظم = ..............
6) مساحة الخماسي المنتظم الذي طول ضلعه 16 سم = ...........
ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
س2: أوجد مساحة المثلث أ ب جـ : أ ب = 9 سم ، أ جـ = 12 سم ، ق( < أ ) = 48 (لأقرب رقمين عشريين )
س3 : أوجد مساحة الشكل الرباعي الذي طولا قطريه فيه 20، 15 سم وقياس الزاوية بينهما 30
س4 : أوجد مساحة الشكل الثماني المنتظم الذي طول ضلعه 6 سم
ـــــــــــــــــــــــــــ قوانين حساب المثلثات ـــــــــــــــــــــــــــــــــــ
1) جا2 س+جتا2 س= 1 ، 1+ ظا2 س = قا2 س،
1 + ظتا2 س = قتا2س
2) قتا س = 1 ، قاس = 1 ، ظاس =جاس ، ظتاس = جتاس
جاس جتاس جتاس جاس
3)مساحة القطاع الدائري = 1 ل نق = 1 هـد نق2 = س5 × ط نق2
محيط القطاع=2نق+ل 2 2 360
4)مساحة القطعة الدائرية = 1 نق2 (هـد – جا هـ )
2
5) مساحة المثلث = 1 حاصل ضرب ضلعين × جيب الزاوية المحصورة بينهما 2
6) مساحة الشكل الرباعي = 1 حاصل ضرب القطرين × جيب الزاوية المحصورة بينهما 2
مساحة المضلع المنتظم = 1 س 2 × ظتا ח
4 ن
ـــــــــــــــــــــــــــــــ قوانين الهندسة التحليلية ــــــــــــــــــــــــــــــــ
1) قانون المعيار اذا كان أ= ( س ، ص ) فإن || أ ||= س 2 + ص 2
(2) قانون الصورة القطبية ( المعيار ، الزاوية ) ، ظا Ө = ص
س
(3) قانون الصورة الاحداثية ( س ، ص ) حيث
س= المعيار × جتا Ө ، ص = المعيار جا Ө
(4) اذا كان أ = ( س1 ، ص1 ) ، ب = ( س2 ، ص2 )
فإن أ يوازي ب عندما س1 ص2 – س2 ص 1 = 0
، أ عمدودي على ب عندما س1 س2 + ص1 ص2 = 0
(5) اذا كان المتجه أ = ثابت × المتجه ب فإن أ // ب
(6) قانون جمع وطرح المتجهات أ
في أي مثلث أ ب جـ يكون
أ ب + ب جـ = أ جـ ، أب – أ جـ = جـ ب
واذا كان د منتصف ب جـ ( أد متوسط )
فإن أ ب + أ جـ = 2 أ د ب جـ
د
(7) قاعدة متوازي الأضلاع اذا كان أ ب جـ د متوازي أضلاع فإن
أ ب + أ د = 2 أ جـ
(8) السرعة النسبية لـ ب بالنسبة لـ أ هي عب أ = عب - عأ
(9) قانون تقسيم قطعة مستقيمة جـ = ل1 ر1 + ل2 ر2
ل1 + ل2
(10) المعادلة المتجهة ر = ق + ك ي
(11) المعادلة العامة ص - ص 1 = م
س - س1
(12) قانون الزاوية بين مستقيمين ظا هـ = م1 – م2
1+ م1 م2
(13 ) قانون طول العمود ل = أ س1 + ب ص1 + جـ
أ 2 + ب 2
(14) شرط توازي مستقيمين هو م1 = م 2
، وشرط تعامد مستقيمين هو م1 × م2 = -1
(15) ميل المستقيم الموازي لمحور السينات = صفر
(16) ميل المستقيم الموازي لمحور الصادات = غير معرف
احمد العامليالأحد 13 مارس 2016, 10:02 am