مراجعة عامه تفاضل 2 ثانوى
http://www.2shared.com/file/KSU2wSvf/___2_.html
أولا التغير
يقصد بالتغير التغير فى س ويرمز له بالرمز س أو هــ فإذا تغيرت س من س1 الى س2 فان
هـ = س2 – س1 ومنه نجد أن س2 = س1 + هــ
إذا تغيرت س من 3 الى 3.5 فان هـ = 3.5 – 3 = 0.5
إذا تغيرت س من 3 الى 2.5 فان هـ = 2.5 – 3 = -0.5
ثانيا دالة التغير ت ( هـ ) يقصد به التغير فى الدالة
ت ( هـ ) = د ( س2 ) – د ( س1 )



أوجد التغير فى الدالة د ( س ) = س2 – 3 عندما تتغير س من 4 الى 4.5



ت ( هـ ) = د ( س + هـ ) – د ( س ) = [ (س + هـ )2 – 3 ] – [ س2 – 3 ]
= س2 + 2س هـ + هـ2 – 3 – س2 + 3 = 2 س هــ + هــ2
عندما س = 4 هــ = 0.5
ت ( 0.5 ) = 2 × 4 × 0.5 + (0.5)2 = 4.25
طريقة أخرى
ت ( هــ ) = د ( س + هـ ) – د ( س ) = د ( 4 + هــ ) – د ( 4 )
= [ ( 4 + هـ )2 – 3 ] – [ 4 2 – 3 ] = 16 + 8 هـ + هـ2 – 3 – 16 + 3 = 8هـ + هـ2
ت ( 0.5 ) = 8 × 0.5 + ( 0.5)2 = 4.25

أوجد التغير فى الدالة د ( س ) = س2 – 3س عندما تتغير س من س1 الى س1 + هـ
ثم أوجد التغير عندما تتغير س من 5 الى 5.1



ت ( هـ ) = د ( س + هـ ) – د ( س ) = [ (س+هـ )2 – 3 ( س +هـ) ] – [ س2 – 3 س ]
= س2 + 2 س هـ + هـ2 – 3 س – 3 هـ - س2 + 3 س = 2س هـ + هـ2 – 3 هـ
عندما س = 5 هـ = 0.1
ت ( 0.1 ) = 2 × 5 × 0.1 + ( 0.1 )2 – 3 × 0.1 = 0.71

أوجد التغير فى الدالة د ( س ) = س2 – 5 س +3 عندما س = 6
ثم أوجد ت (-0.5)


ت ( هـ ) = د ( س + هـ ) – د (س) = [(س+ هـ)2 – 5 (س+هـ)+3]- [ س2 – 5س +3 ]
= س2 + 2 س هـ + هـ2 – 5 س – 5 هـ +3 – س2 + 5 س – 3 = 2س هـ+ هـ2 – 5هـ
عندما س = 6 هـ = -0.5
ت ( -0.5 ) = 2 × 6 × -0.5 + ( - 0.5 )2 – 5 × - 0.5 = - 3.25

أوجد التغير فى الدالة د ( س ) = عندما تتغير س من 2 الى 2.5



ت ( هـ ) = د ( س + هـ ) – د ( س ) = ـــــــــــــ - ــــــــ = ـــــــــــــــــــــــــ = ـــــــــــــــــــــــــ


ت ( 0.5 ) = ـــــــــــــــــــــــــ = ـــــــــــــــ = ــــــــ = 0.1


أوجد التغير فى الدالة د ( س ) = ـــــــــــــــ عندما تتغير س من 3 الى 3.5




ت ( هـ ) = د ( س+ هـ ) – د ( س ) = ــــــــــــــــــــ - ـــــــــــــ = ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ

= ــــــــــــــــــــــــــــــــــ عندما س = 3 هـ = 0.5

ت ( 0.5 ) = ـــــــــــــــــــــــــــــــــــ = ــــــــــــــــــ = ــــــــــ = ــــــــ


أوجد التغير فى الدالة د ( س ) = ـــــــــــــ عندما تتغير س من 4 الى 4.5


أوجد التغير فى الدالة د ( س ) = س2 – س عندما تتغير س من 2 الى 2+ هـ
ومن ثم أوجد ت ( 0.1 )







م ( هــ ) = ــــــــــــ = ـــــــــــــــــــــــــــــــــــ



أوجد متوسط التغير للدالة د ( س ) = س2 +1 عندما تتغير س من 3 الى 3.1




م ( هـ ) = ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ = ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ


= ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ = ـــــــــــــــــــــــ = ــــــــــــــــــــــــ = 2س + هـ


م ( 0.1 ) = 2 × 3 + 0.1 = 6.1


أوجد متوسط التغير للدالة د ( س ) = س2 - س عندما تتغير س من 4 الى 3.9




م ( هـ ) = ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ = ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ


= ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ = ــــــــــــــــــــــــــــــــــ


= ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ = 2 س + هــ - 1

عندما س = 4 هـ = - 0.1
م ( - 0.1 ) = 2 × 4 + ( - 0.1 ) – 1 = 6.9


أوجد متوسط التغير للدالة د ( س ) = س2 – 3 س +5عندما تتغير س من س1 الى
س1 + هـ ثم أوجد متوسط التغير عندما تتغير س من 2 الى 1.5



م ( هـ ) = ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ = ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ

= ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ = ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
س = 2
= ــــــــــــــــــــــــــــــــــــ = 2 س + هــ - 3 هـ = - 0.5

م ( - 0.5 ) = 2 × 2 + ( - 0.5 ) – 3 = 0.5


أوجد متوسط التغير للدالة د ( س ) = 3 – س2 عندما تتغير س من 5 الى 5.1



م ( هـ ) = ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ = ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ

= ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ = ـــــــــــــــــــــــــ = ـــــــــــــــــــــــــــــــ = -2س – هــ

م ( 0.1 ) = -2 × 5 – 0.1 = - 10.1

أوجد متوسط التغير للدالة د ( س ) = 3س2 +5 عندما تتغير س من 4 الى 4.2




م ( هـ ) = ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ = ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ

= ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ = ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ

= ــــــــــــــــــــــــــــ = ـــــــــــــــــــــــــــ = 6 س +3 هــ س = 4
هـ = 0.2
م ( 0.2) = 6 × 4 + 3 × 0.2 = 24 + 0.6 = 24.6




أوجد متوسط التغير للدالة د ( س ) = ــــــــ عندما تتغير س من 2 الى 2.5




م ( هـ ) = ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ = [ ـــــــــــــ - ــــــــ ] = × ــــــــــــــــــــــــــ

= × ــــــــــــــــــــــــ = ـــــــــــــــــــــ س = 2
هـ = 0.5
م ( 0.5 ) = ــــــــــــــــــــــــ = ـــــــــــــ =


أوجد متوسط التغير للدالة د ( س ) = ـــــــــــــ عندما تتغير س من 4 الى 4.5




م ( هـ ) = ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ = [ــــــــــــــــــ - ــــــــــــ ]= × ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ

= × ــــــــــــــــــــــــــــــــــ = ـــــــــــــــــــــــــــــــــــ س = 4
هـ = 0.5
م ( 0.5 ) = ــــــــــــــــــــــــــــــــــ = ــــــــــــــــ =


أوجد متوسط التغير للدالة د( س ) = ــــــــــــــ عندما تتغير س من 4 الى 3.5



م ( هـ ) = ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ = [ ـــــــــــــــــــــــــ - ـــــــــــــــــ ]


= × ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ = × ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ


= ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ س = 4
هـ = -0.5
م ( - 0.5) = ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ = ـــــــــــــــــ = ــــــــــــ = ــــــــ








معدل التغير = نهـــا م ( هــ ) = نهـــــا ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ


أوجد معدل التغير للدالة د ( س ) = س2 +3 عندما س = 5




معدل التغير = نهــــــا ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ = نهــــا ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ

= نهــــا ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ = نهــــــا ــــــــــــــــــــــــ = نهـــا ــــــــــــــــــــــــ

= نهـــا 2س + هــ = 2س = 2 × 5 = 10


أوجد معدل التغير للدالة د ( س ) = س2 +5 س عندما س = 1




معدل التغير = نهــــــا ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ = ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ

= نهــــا ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ = نهــــا ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــ

= نهـــا ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ = نهــــا 2 س + هـ + 5 = 2 س +5 = 2×1 + 5 = 7




أوجد معدل التغير للدالة د ( س ) = س2 - 3 س عندما س = 2




معدل التغير = نهــــــا ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ = نهــــــا ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ

= نهــــا ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ = نهـــــا ــــــــــــــــــــــــــــــــــــ

= نهـــا ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــ = نهــــا 2 س + هـ - 3 = 2س – 3 = 2(2) -3 = 4 – 3 = 1


أوجد معدل التغير للدالة د ( س ) = س2 – س +3 عندما س = 3




معدل التغير= نهــا ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ = نهـا ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ

= نهـــا ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ = نهـــــا ـــــــــــــــــــــــــــــــــــ

= نهـــا ـــــــــــــــــــــــــــــــــــ = نهـــا 2 س + هـ - 1 = 2 س -1 = 2 (3) – 1 = 6 – 1 = 5


أوجد معدل التغير للدالة د ( س ) = عندما س = 3



معدل التغير = نهــــــا ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ = نهـــا [ ــــــــــــــــ - ـــــــ ]


= نهــــا × ــــــــــــــــــــــــ = نهـــا × ـــــــــــــــــــــــ = نهـــا ــــــــــــــــــــ = ـــــــــ


= ـــــــــــ =





أوجد معدل التغير للدالة د ( س ) = ـــــــــــــ عندما س = 4




معدل التغير = نهــــــا ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ = نهــــا [ ـــــــــــــــــــــ - ــــــــــــــــ ]


= نهــــا × ـــــــــــــــــــــــــــــــــــ = نهـــا × ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــ


= نهـــا ــــــــــــــــــــــــــــــــــ = ــــــــــــــــــــ = ــــــــــــــــــــ =


أوجد معدل التغير للدالة د ( س ) = س3 عندما س = 5




معدل التغير = نهــــــا ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ = نهــــا ـــــــــــــــــــــــــــــــ


= نهــــا ــــــــــــــــــــــــــــــــــــ = 3 س2 = 3 ( 5 )2 = 3 × 25 = 75


أوجد معدل التغير للدالة د ( س ) = س عندما س = 8




معدل التغير = نهــــــا ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ = نهـــــا ــــــــــــــــــــــــــــــــــ



= نهــــا ــــــــــــــــــــــــــــــــــ = نهـــا ــــــــــــــــــــــــــــــــ = س = س


= ( 8 ) = ( 2 3 ) = × =




أوجد معدل التغير للدالة د ( س ) = س + 1 عندما س = 3




معدل التغير = نهــــــا ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ = نهــــــا ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ


= نهـــا ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ × ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ

= نهـــا ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ = نهــــا ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ

= ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ = ــــــــــــــــ =


أوجد متوسط معدل التغير للدالة د ( س ) = س + 3 عندما تتغير س من 1 الى 13




متوسط التغير = ــــــــــــــــــــــــــــــــــ = ـــــــــــــــــــــــــــــــ = ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ

= ــــــــــــــــــــــــــــــــ = ــــــــــــــــ = ـــــــــ =


أوجد متوسط معدل التغير للدالة د ( س ) = ــــــــــــــ عندما تتغير س من 3 الى 5




متوسط التغير = ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــ = ــــــــــــــــــــــــــــــــ = ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ


= ـــــــــــــــــــ = ـــــــــــ = × =





لوح معدنى مستطيل الشكل طوله ضعف عرضه يتمدد بانتظام بحيث يكون محتفظا بشكله
أوجد أولا) متوسط التغيرفى مساحته عندما يتغير عرضه من 5 الى 5.1
ثانيا) معدل التغير فى مساحته عندما يكون عرضه = 3سم



نفرض أن العرض = س الطول = 2س
مساحته = الطول × العرض = 2س × س = 2 س2
أولا ) متوسط التغير فى مساحته عندما يتغير عرضه من 5 سم الى 5.1سم

م ( هـ) = ـــــــــــــــــــــــــــــــــــ = ــــــــــــــــــــــــــــــــ = ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ

= ــــــــــــــــــــــــ = ـــــــــــــــــــــــــــ = 4س +2 هـ = 4 × 5 +2 × 0.1 = 20.2سم2

ثانيا) معدل التغير فى مساحته عندما يكون عرضه = 4سم
معدل التغير = نهـــا م ( هـ ) = نها 4س +2 هـ = 4 س = 4 × 3 = 12سم2


صفيحة مربعة الشكل تتمدد بانتظام بحيث تظل محتفظة بشكلها أوجد
أولا) متوسط التغير عندما يتغير طول ضلعها من 6 الى 6.2
ثانيا) معدل التغير عندما يكون طول ضلعها = 5سم




نفرض أن طول الضلع = س
مساحته = طول الضلع × نفسه = س × س = س2
أولا ) متوسط التغير فى مساحته عندما يتغير طول ضلعه من 6 سم الى 6.2سم

م ( هـ) = ـــــــــــــــــــــــــــــــــــ = ــــــــــــــــــــــــــــــــ = ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ

= ــــــــــــــــــــــــ = ـــــــــــــــــــــــــــ = 2س + هـ = 2 × 6+ 0.2 = 12.2 سم2

ثانيا) معدل التغير فى مساحته عندما يكون عرضه = 4سم
معدل التغير = نهـــا م ( هـ ) = نها 2س + هـ = 2 س = 2 × 5 = 10سم2





مكعب يتمدد بانتظام بحيث يظل محتفظا بشكله أوجد
أولا ) متوسط التغير فى مساحته الكلية عندما يتغير طول حرفه من7 سم الى 7.1سم
ثانيا) أوجد معدل التغير فى حجمه عندما يكون طول ضلعه = 4سم
ثالثا ) متوسط التغير فى مساحته الجانبية عندما يتغير طول حرفه من 3 سم الى 3.5سم




أولا ) متوسط التغير فى مساحته الكلية عندما يتغير طول حرفه من 7 سم الى 7.1سم
نفرض أن طول حرفه س مساحته الكلية = 6 س2

م ( هـ) = ـــــــــــــــــــــــــــــــــــ = ــــــــــــــــــــــــــــــــ = ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ

= ــــــــــــــــــــــــــــ = ـــــــــــــــــــــــــــ = 12س + 6هـ = 12 × 7+6 × 0.2 = 85.2 سم2

**********************
ثانيا ) معدل التغير فى حجمه عندما يكون طول حرفه = 4سم
حجم المكعب = س3

معدل التغير = نهــــــا ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ = نهــــا ـــــــــــــــــــــــــــــــ


= نهــــا ــــــــــــــــــــــــــــــــــــ = 3 س2 = 3 ( 4 )2 = 3 × 16 = 48سم3

*******************
ثالثا) متوسط التغير فى مساحته الجانبية عندما يتغير طول حرفه من 3 سم الى 3.5سم

نفرض أن طول حرفه س مساحته الجانبية = 4 س2

م ( هـ) = ـــــــــــــــــــــــــــــــــــ = ــــــــــــــــــــــــــــــــ = ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ

= ــــــــــــــــــــــــــــ = ـــــــــــــــــــــــــــ = 8 س + 4 هـ = 8 × 3 +4 × 0.5 = 26 سم2






صفيحة دائرية تتمدد بانتظام بحيث تظل محتفظة بشكلها
أوجد أولا ) متوسط التغير فى مساحتها عندما بتغير طول نصف قطرها من 3.5الى3.6
ثانيا) معدل التغير فى مساحتها عندما يكون طول نصف قطرها = 7سم



أولا ) متوسط التغير فى مساحتها عندما بتغير طول نصف قطرها من 3.5الى3.6
مساحة الصفيحة = ط نق2
م ( هـ) = ـــــــــــــــــــــــــــــــــ = ـــــــــــــــــــــــــــــــــــ = ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ

= ــــــــــــــــــــــــــــــ = ــــــــــــــــــــــــــــــــــــ = 2 ط نق + ط هـ = 2 ط × 3.5+ ط (0.5)
= 23.56سم2

ثانيا) معدل التغير فى مساحتها عندما يكون طول نصف قطرها = 7سم
معدل التغير = نهــــا م ( هــ) = نهــــا 2 ط نق + ط هـ = 2 ط نق = 2 ط × 7 = 44سم2

إذا كانت سرعة سيارة تتحدد من العلاقة ع = ن2 + 3ن أوجد متوسط التغير فى سرعة
السيارة عندما تتغير ن من ن = 5 الى ن = 7



م ( هـ ) = ــــــــــــــــــــــــــــــــ = ـــــــــــــــــــــــــــــــ = ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ

= ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ = = 15


إذا كان تجمع حجم نوع من أنواع السمك يعطى من العلاقة ح = 100(ن + 3)2 أوجد
متوسط تجمع السمك بين ن = 1 ، ن = 4



م ( هـ ) = ــــــــــــــــــــــــــــــــ = ــــــــــــــــــــــــــــــــ = ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ


= ــــــــــــــــــــــــــــ = ــــــــــــ = 1100