حل معادلات كثيرات الحدود
حمل من الرابط
http://goo.gl/7otnX
حمل من الرابط
http://goo.gl/7otnX
السلام عليكم ورحمة الله وبركاته
المعادلة من الدرجة الأولى
حل المعادلة:
هو
حيث![حل معادلات كثيرات الحدود Dbcde95e34541d909bf6bc1694345201](https://2img.net/h/upload.wikimedia.org/math/d/b/c/dbcde95e34541d909bf6bc1694345201.png)
ونستطيع حل معادلات الدرجة الأولى بكل سهولة فمثلا: مثال 1:- حل المعادلة التالية س+5=10 الحل:- س+5-5=10-5
وبالإختصار نجد أن:- س=5
بحيث لو عوضنا بقيمة س نحصل على الناتج 10
5+5=10 وهناك طريقة أخرى وهي نقل الحد الثاني إلى الجهة الأخرى بعكس إشارته. س=10-5
س=5
المعادلة من الدرجة الثانية
لحل المعادلة:![حل معادلات كثيرات الحدود 48ec8b3c1707d49d096c106b2bca48a6](https://2img.net/h/upload.wikimedia.org/math/4/8/e/48ec8b3c1707d49d096c106b2bca48a6.png)
نحسب المميز
المعرف ب: ![حل معادلات كثيرات الحدود 4c9f2bd885ce2109134b36969e8ada04](https://2img.net/h/upload.wikimedia.org/math/4/c/9/4c9f2bd885ce2109134b36969e8ada04.png)
ويكون للمعادلة حلان هما:
المعادلة من الدرجة الثالثة
طريقة كاردان
طريقة كاردان هي طريقة تمكن من حل جميع
المعادلات من الدرجة الثالثة
هذه الطريقة تكمن من استعمال صيغ كاردان
المعطات بدلالة
و
حلول المعادلة: ![حل معادلات كثيرات الحدود 93a3880c3a92485843d36866b009c689](https://2img.net/h/upload.wikimedia.org/math/9/3/a/93a3880c3a92485843d36866b009c689.png)
وهي تمكن من البرهنة على أن المعادلات من
الدرجة 3 يمكن حلها جبريا
صيغ كاردان
بالنسبة للمعادلة:![حل معادلات كثيرات الحدود 48a4e90d5f21701c6f23245ab8e30283](https://2img.net/h/upload.wikimedia.org/math/4/8/a/48a4e90d5f21701c6f23245ab8e30283.png)
نحسب![حل معادلات كثيرات الحدود 4c70cf2a4b95a003e0ec6e1fd918f9ba](https://2img.net/h/upload.wikimedia.org/math/4/c/7/4c70cf2a4b95a003e0ec6e1fd918f9ba.png)
ثم ندرس إشارة
Δ
إذا كان Δ موجب :
نضع
.
و حلان عقديان مترافقان:
![حل معادلات كثيرات الحدود F0588004168549bd16ab0a19d58d2fcf](https://2img.net/h/upload.wikimedia.org/math/f/0/5/f0588004168549bd16ab0a19d58d2fcf.png)
- إذا كان Δ سالب :
يوجد عدد عقدي u الذي هو جذر مكعب ل
.
المعادلة تقبل ثلاث حلول حقيقية:
تفسير الطريقة
الصيغة المختصرة
نعتبر الصيغة العامة للمعادلة:
,
نضع:
![حل معادلات كثيرات الحدود 6e23fe4ceb48e1fc3eac54d35e706509](https://2img.net/h/upload.wikimedia.org/math/6/e/2/6e23fe4ceb48e1fc3eac54d35e706509.png)
لنحصل على الصيغة:
![حل معادلات كثيرات الحدود 06c42cda45c92857a1935c8ccbdee8c5](https://2img.net/h/upload.wikimedia.org/math/0/6/c/06c42cda45c92857a1935c8ccbdee8c5.png)
نضع الآن:
![حل معادلات كثيرات الحدود 8b3c61048ba6671b72bb934117868d05](https://2img.net/h/upload.wikimedia.org/math/8/b/3/8b3c61048ba6671b72bb934117868d05.png)
الآن نحصل على مجهولين بدل مجهول واحد,
لكن نضع شرطا يمكن من التبسيط:
![حل معادلات كثيرات الحدود 485864024f394818dae85414a88013d8](https://2img.net/h/upload.wikimedia.org/math/4/8/5/485864024f394818dae85414a88013d8.png)
تتحول هذه المعادلة إلى الشكل:
![حل معادلات كثيرات الحدود 81db6ead67cac50dec36e4bfa52f767e](https://2img.net/h/upload.wikimedia.org/math/8/1/d/81db6ead67cac50dec36e4bfa52f767e.png)
شرط التبسيط يكون إذن:
![حل معادلات كثيرات الحدود Ec8930b016d3d442067267e37059d022](https://2img.net/h/upload.wikimedia.org/math/e/c/8/ec8930b016d3d442067267e37059d022.png)
الذي يعطي من جهة:
![حل معادلات كثيرات الحدود 54d10bc1db3d4903c113134d441402b1](https://2img.net/h/upload.wikimedia.org/math/5/4/d/54d10bc1db3d4903c113134d441402b1.png)
و من جهة أخرى:
![حل معادلات كثيرات الحدود Fb1300947af438fee54b0315965e70ca](https://2img.net/h/upload.wikimedia.org/math/f/b/1/fb1300947af438fee54b0315965e70ca.png)
و عند رفع العددين إلى القوة 3, نحصل على:
![حل معادلات كثيرات الحدود 1fce021e3739a7137d47bc82d058a9a3](https://2img.net/h/upload.wikimedia.org/math/1/f/c/1fce021e3739a7137d47bc82d058a9a3.png)
و نحصل أخيرا على نظمة معادلتين لمجهولين
و
الآتية :
![حل معادلات كثيرات الحدود 7cc9ad2a9e35f3d6027c460992717de4](https://2img.net/h/upload.wikimedia.org/math/7/c/c/7cc9ad2a9e35f3d6027c460992717de4.png)
![حل معادلات كثيرات الحدود 1fce021e3739a7137d47bc82d058a9a3](https://2img.net/h/upload.wikimedia.org/math/1/f/c/1fce021e3739a7137d47bc82d058a9a3.png)
و
هما إذن عددين نعرف جمعهما وجذاءهما.
هذين العددين هما جذرا المعادلة من الدرجة
الثانية:
![حل معادلات كثيرات الحدود C5c83891567aeeed9e5bb3fcafbb7470](https://2img.net/h/upload.wikimedia.org/math/c/5/c/c5c83891567aeeed9e5bb3fcafbb7470.png)
المعادلة من الدرجة الرابعة
طريقة فيراري
نعتبر الصيغة العامة للمعادلة من الدرجة الرابعة:
![حل معادلات كثيرات الحدود 4237bbadda5a808e0f5cdbe9e8ee7afb](https://2img.net/h/upload.wikimedia.org/math/4/2/3/4237bbadda5a808e0f5cdbe9e8ee7afb.png)
نقسم على
ونضع
![حل معادلات كثيرات الحدود Ac5598fb270dfe983f706f1f84f8b639](https://2img.net/h/upload.wikimedia.org/math/a/c/5/ac5598fb270dfe983f706f1f84f8b639.png)
لنصل إلى معادلة على صيغة :
![حل معادلات كثيرات الحدود C99360cfb75861944db286a99810c259](https://2img.net/h/upload.wikimedia.org/math/c/9/9/c99360cfb75861944db286a99810c259.png)
معادلة تكتب:
![حل معادلات كثيرات الحدود A46b5b0462a405d43c52b9849d97b990](https://2img.net/h/upload.wikimedia.org/math/a/4/6/a46b5b0462a405d43c52b9849d97b990.png)
نضيف
![حل معادلات كثيرات الحدود A7a7b01ecc1235fa454f0d4f10e25ed9](https://2img.net/h/upload.wikimedia.org/math/a/7/a/a7a7b01ecc1235fa454f0d4f10e25ed9.png)
لطرفي المتساوية. فنحصل على:
![حل معادلات كثيرات الحدود E4bb2c0d9377d5020a9d23b501ea0571](https://2img.net/h/upload.wikimedia.org/math/e/4/b/e4bb2c0d9377d5020a9d23b501ea0571.png)
نلاحظ أن الطرف الأول يكتب على صيغة مربع:
![حل معادلات كثيرات الحدود 2ba5229ed4afeb6ddd98a57db35abde7](https://2img.net/h/upload.wikimedia.org/math/2/b/a/2ba5229ed4afeb6ddd98a57db35abde7.png)
من هاته النتيجة الأخيرة, نقوم بالنشر :
![حل معادلات كثيرات الحدود E885549511640262a6af2ebf8bca64f6](https://2img.net/h/upload.wikimedia.org/math/e/8/8/e885549511640262a6af2ebf8bca64f6.png)
![حل معادلات كثيرات الحدود 88c66af0b55b0b0aed47fec7b21cd7d8](https://2img.net/h/upload.wikimedia.org/math/8/8/c/88c66af0b55b0b0aed47fec7b21cd7d8.png)
الهدف هو تحديد y بحيث يكتب الطرف الثاني أيضا على صيغة مربع.
الطرف الثاني معادلة من الدرجة الثانية
. يكتب على شكل مربع. إذا كان المميز منعدما يعني:
![حل معادلات كثيرات الحدود 047d90018791732e58a50c6d8fb6c7b4](https://2img.net/h/upload.wikimedia.org/math/0/4/7/047d90018791732e58a50c6d8fb6c7b4.png)
الشيء الذي يعطي, عن طريق النشر والتجميع معادلة من الدرجة الثالثة
الآتية :
![حل معادلات كثيرات الحدود 62827f5b2ff4771246ce2d32a11e7c7c](https://2img.net/h/upload.wikimedia.org/math/6/2/8/62827f5b2ff4771246ce2d32a11e7c7c.png)
نستطيع حل هذه المعادلة باستعمال الطريقة الخاصة بمعادلات الدرجة الثالثة لإيجاد
.
مبرهنة آبل هي مبرهنة رياضية تنص على أنه "ليس هناك حلول جبرية للمعادلات الحدودية انطلاقا من الدرجة الخامسة"
بالنسبة للمعادلات من الدرجة الأولى والثانية والثالثة والرابعة,
يمكن إيجاد الحلول باستعمال العمليات الأربع الجمع الفرق الضرب القسمة إلى جانب القوى
والجذور. لكن ابتداء من الدرجة الخامسة لا يمكن ايجاد الحلول باستعمال العمليات السابقة.
وشاهد ايضاالمعادلة من الدرجة الأولى
حل المعادلة:
![حل معادلات كثيرات الحدود 3e44794bb214b611892bbc074b4a76a3](https://2img.net/h/upload.wikimedia.org/math/3/e/4/3e44794bb214b611892bbc074b4a76a3.png)
هو
![حل معادلات كثيرات الحدود F9f7be07cb58e89c1f51901387cdd677](https://2img.net/h/upload.wikimedia.org/math/f/9/f/f9f7be07cb58e89c1f51901387cdd677.png)
حيث
![حل معادلات كثيرات الحدود Dbcde95e34541d909bf6bc1694345201](https://2img.net/h/upload.wikimedia.org/math/d/b/c/dbcde95e34541d909bf6bc1694345201.png)
ونستطيع حل معادلات الدرجة الأولى بكل سهولة فمثلا: مثال 1:- حل المعادلة التالية س+5=10 الحل:- س+5-5=10-5
وبالإختصار نجد أن:- س=5
بحيث لو عوضنا بقيمة س نحصل على الناتج 10
5+5=10 وهناك طريقة أخرى وهي نقل الحد الثاني إلى الجهة الأخرى بعكس إشارته. س=10-5
س=5
المعادلة من الدرجة الثانية
لحل المعادلة:
![حل معادلات كثيرات الحدود 48ec8b3c1707d49d096c106b2bca48a6](https://2img.net/h/upload.wikimedia.org/math/4/8/e/48ec8b3c1707d49d096c106b2bca48a6.png)
نحسب المميز
![حل معادلات كثيرات الحدود A3e26731c00f98f498ba46988315399a](https://2img.net/h/upload.wikimedia.org/math/a/3/e/a3e26731c00f98f498ba46988315399a.png)
![حل معادلات كثيرات الحدود 4c9f2bd885ce2109134b36969e8ada04](https://2img.net/h/upload.wikimedia.org/math/4/c/9/4c9f2bd885ce2109134b36969e8ada04.png)
ويكون للمعادلة حلان هما:
المعادلة من الدرجة الثالثة
طريقة كاردان
طريقة كاردان هي طريقة تمكن من حل جميع
المعادلات من الدرجة الثالثة
هذه الطريقة تكمن من استعمال صيغ كاردان
المعطات بدلالة
![حل معادلات كثيرات الحدود Aff3f87612b5f741cdc7f11011c13e0f](https://2img.net/h/upload.wikimedia.org/math/a/f/f/aff3f87612b5f741cdc7f11011c13e0f.png)
![حل معادلات كثيرات الحدود D2513a647093213565ca23d78ebfd7b1](https://2img.net/h/upload.wikimedia.org/math/d/2/5/d2513a647093213565ca23d78ebfd7b1.png)
![حل معادلات كثيرات الحدود 93a3880c3a92485843d36866b009c689](https://2img.net/h/upload.wikimedia.org/math/9/3/a/93a3880c3a92485843d36866b009c689.png)
وهي تمكن من البرهنة على أن المعادلات من
الدرجة 3 يمكن حلها جبريا
صيغ كاردان
بالنسبة للمعادلة:
![حل معادلات كثيرات الحدود 48a4e90d5f21701c6f23245ab8e30283](https://2img.net/h/upload.wikimedia.org/math/4/8/a/48a4e90d5f21701c6f23245ab8e30283.png)
نحسب
![حل معادلات كثيرات الحدود 4c70cf2a4b95a003e0ec6e1fd918f9ba](https://2img.net/h/upload.wikimedia.org/math/4/c/7/4c70cf2a4b95a003e0ec6e1fd918f9ba.png)
ثم ندرس إشارة
Δ
إذا كان Δ موجب :
نضع
![حل معادلات كثيرات الحدود 1acdf29f701389496168858ae1231915](https://2img.net/h/upload.wikimedia.org/math/1/a/c/1acdf29f701389496168858ae1231915.png)
و حلان عقديان مترافقان:
![حل معادلات كثيرات الحدود F0588004168549bd16ab0a19d58d2fcf](https://2img.net/h/upload.wikimedia.org/math/f/0/5/f0588004168549bd16ab0a19d58d2fcf.png)
- إذا كان Δ سالب :
يوجد عدد عقدي u الذي هو جذر مكعب ل
![حل معادلات كثيرات الحدود 03bdfb424be91b20339aeb187f6554bc](https://2img.net/h/upload.wikimedia.org/math/0/3/b/03bdfb424be91b20339aeb187f6554bc.png)
المعادلة تقبل ثلاث حلول حقيقية:
تفسير الطريقة
الصيغة المختصرة
نعتبر الصيغة العامة للمعادلة:
![حل معادلات كثيرات الحدود E2541975a91ef33d6b4af08dd31d8c6e](https://2img.net/h/upload.wikimedia.org/math/e/2/5/e2541975a91ef33d6b4af08dd31d8c6e.png)
نضع:
![حل معادلات كثيرات الحدود 6e23fe4ceb48e1fc3eac54d35e706509](https://2img.net/h/upload.wikimedia.org/math/6/e/2/6e23fe4ceb48e1fc3eac54d35e706509.png)
لنحصل على الصيغة:
![حل معادلات كثيرات الحدود 06c42cda45c92857a1935c8ccbdee8c5](https://2img.net/h/upload.wikimedia.org/math/0/6/c/06c42cda45c92857a1935c8ccbdee8c5.png)
نضع الآن:
![حل معادلات كثيرات الحدود 8b3c61048ba6671b72bb934117868d05](https://2img.net/h/upload.wikimedia.org/math/8/b/3/8b3c61048ba6671b72bb934117868d05.png)
الآن نحصل على مجهولين بدل مجهول واحد,
لكن نضع شرطا يمكن من التبسيط:
![حل معادلات كثيرات الحدود 485864024f394818dae85414a88013d8](https://2img.net/h/upload.wikimedia.org/math/4/8/5/485864024f394818dae85414a88013d8.png)
تتحول هذه المعادلة إلى الشكل:
![حل معادلات كثيرات الحدود 81db6ead67cac50dec36e4bfa52f767e](https://2img.net/h/upload.wikimedia.org/math/8/1/d/81db6ead67cac50dec36e4bfa52f767e.png)
شرط التبسيط يكون إذن:
![حل معادلات كثيرات الحدود Ec8930b016d3d442067267e37059d022](https://2img.net/h/upload.wikimedia.org/math/e/c/8/ec8930b016d3d442067267e37059d022.png)
الذي يعطي من جهة:
![حل معادلات كثيرات الحدود 54d10bc1db3d4903c113134d441402b1](https://2img.net/h/upload.wikimedia.org/math/5/4/d/54d10bc1db3d4903c113134d441402b1.png)
و من جهة أخرى:
![حل معادلات كثيرات الحدود Fb1300947af438fee54b0315965e70ca](https://2img.net/h/upload.wikimedia.org/math/f/b/1/fb1300947af438fee54b0315965e70ca.png)
و عند رفع العددين إلى القوة 3, نحصل على:
![حل معادلات كثيرات الحدود 1fce021e3739a7137d47bc82d058a9a3](https://2img.net/h/upload.wikimedia.org/math/1/f/c/1fce021e3739a7137d47bc82d058a9a3.png)
و نحصل أخيرا على نظمة معادلتين لمجهولين
![حل معادلات كثيرات الحدود Ba7ed1975ed8887e7759a1e7a9faf96c](https://2img.net/h/upload.wikimedia.org/math/b/a/7/ba7ed1975ed8887e7759a1e7a9faf96c.png)
![حل معادلات كثيرات الحدود Dc7238b5528423126de55ec0d1bd88a5](https://2img.net/h/upload.wikimedia.org/math/d/c/7/dc7238b5528423126de55ec0d1bd88a5.png)
![حل معادلات كثيرات الحدود 7cc9ad2a9e35f3d6027c460992717de4](https://2img.net/h/upload.wikimedia.org/math/7/c/c/7cc9ad2a9e35f3d6027c460992717de4.png)
![حل معادلات كثيرات الحدود 1fce021e3739a7137d47bc82d058a9a3](https://2img.net/h/upload.wikimedia.org/math/1/f/c/1fce021e3739a7137d47bc82d058a9a3.png)
![حل معادلات كثيرات الحدود Ba7ed1975ed8887e7759a1e7a9faf96c](https://2img.net/h/upload.wikimedia.org/math/b/a/7/ba7ed1975ed8887e7759a1e7a9faf96c.png)
![حل معادلات كثيرات الحدود Dc7238b5528423126de55ec0d1bd88a5](https://2img.net/h/upload.wikimedia.org/math/d/c/7/dc7238b5528423126de55ec0d1bd88a5.png)
هذين العددين هما جذرا المعادلة من الدرجة
الثانية:
![حل معادلات كثيرات الحدود C5c83891567aeeed9e5bb3fcafbb7470](https://2img.net/h/upload.wikimedia.org/math/c/5/c/c5c83891567aeeed9e5bb3fcafbb7470.png)
المعادلة من الدرجة الرابعة
طريقة فيراري
نعتبر الصيغة العامة للمعادلة من الدرجة الرابعة:
![حل معادلات كثيرات الحدود 4237bbadda5a808e0f5cdbe9e8ee7afb](https://2img.net/h/upload.wikimedia.org/math/4/2/3/4237bbadda5a808e0f5cdbe9e8ee7afb.png)
نقسم على
![حل معادلات كثيرات الحدود 802cd6929a8346e498279cc68f1a99f4](https://2img.net/h/upload.wikimedia.org/math/8/0/2/802cd6929a8346e498279cc68f1a99f4.png)
![حل معادلات كثيرات الحدود Ac5598fb270dfe983f706f1f84f8b639](https://2img.net/h/upload.wikimedia.org/math/a/c/5/ac5598fb270dfe983f706f1f84f8b639.png)
لنصل إلى معادلة على صيغة :
![حل معادلات كثيرات الحدود C99360cfb75861944db286a99810c259](https://2img.net/h/upload.wikimedia.org/math/c/9/9/c99360cfb75861944db286a99810c259.png)
معادلة تكتب:
![حل معادلات كثيرات الحدود A46b5b0462a405d43c52b9849d97b990](https://2img.net/h/upload.wikimedia.org/math/a/4/6/a46b5b0462a405d43c52b9849d97b990.png)
نضيف
![حل معادلات كثيرات الحدود A7a7b01ecc1235fa454f0d4f10e25ed9](https://2img.net/h/upload.wikimedia.org/math/a/7/a/a7a7b01ecc1235fa454f0d4f10e25ed9.png)
لطرفي المتساوية. فنحصل على:
![حل معادلات كثيرات الحدود E4bb2c0d9377d5020a9d23b501ea0571](https://2img.net/h/upload.wikimedia.org/math/e/4/b/e4bb2c0d9377d5020a9d23b501ea0571.png)
نلاحظ أن الطرف الأول يكتب على صيغة مربع:
![حل معادلات كثيرات الحدود 2ba5229ed4afeb6ddd98a57db35abde7](https://2img.net/h/upload.wikimedia.org/math/2/b/a/2ba5229ed4afeb6ddd98a57db35abde7.png)
من هاته النتيجة الأخيرة, نقوم بالنشر :
![حل معادلات كثيرات الحدود E885549511640262a6af2ebf8bca64f6](https://2img.net/h/upload.wikimedia.org/math/e/8/8/e885549511640262a6af2ebf8bca64f6.png)
![حل معادلات كثيرات الحدود 88c66af0b55b0b0aed47fec7b21cd7d8](https://2img.net/h/upload.wikimedia.org/math/8/8/c/88c66af0b55b0b0aed47fec7b21cd7d8.png)
![حل معادلات كثيرات الحدود 8c22b03a56280c5f03c6c4b6db32ad8e](https://2img.net/h/upload.wikimedia.org/math/8/c/2/8c22b03a56280c5f03c6c4b6db32ad8e.png)
الهدف هو تحديد y بحيث يكتب الطرف الثاني أيضا على صيغة مربع.
الطرف الثاني معادلة من الدرجة الثانية
![حل معادلات كثيرات الحدود 7a015e2a61386a8f1216a790067af355](https://2img.net/h/upload.wikimedia.org/math/7/a/0/7a015e2a61386a8f1216a790067af355.png)
![حل معادلات كثيرات الحدود 047d90018791732e58a50c6d8fb6c7b4](https://2img.net/h/upload.wikimedia.org/math/0/4/7/047d90018791732e58a50c6d8fb6c7b4.png)
الشيء الذي يعطي, عن طريق النشر والتجميع معادلة من الدرجة الثالثة
![حل معادلات كثيرات الحدود Ac144a901d5a7930ca3d2a02e6d50f0b](https://2img.net/h/upload.wikimedia.org/math/a/c/1/ac144a901d5a7930ca3d2a02e6d50f0b.png)
![حل معادلات كثيرات الحدود 62827f5b2ff4771246ce2d32a11e7c7c](https://2img.net/h/upload.wikimedia.org/math/6/2/8/62827f5b2ff4771246ce2d32a11e7c7c.png)
نستطيع حل هذه المعادلة باستعمال الطريقة الخاصة بمعادلات الدرجة الثالثة لإيجاد
![حل معادلات كثيرات الحدود A67942c8d287d861ff47d1a1616d0641](https://2img.net/h/upload.wikimedia.org/math/a/6/7/a67942c8d287d861ff47d1a1616d0641.png)
مبرهنة آبل هي مبرهنة رياضية تنص على أنه "ليس هناك حلول جبرية للمعادلات الحدودية انطلاقا من الدرجة الخامسة"
بالنسبة للمعادلات من الدرجة الأولى والثانية والثالثة والرابعة,
يمكن إيجاد الحلول باستعمال العمليات الأربع الجمع الفرق الضرب القسمة إلى جانب القوى
والجذور. لكن ابتداء من الدرجة الخامسة لا يمكن ايجاد الحلول باستعمال العمليات السابقة.
سامح محى الدينالأحد 12 فبراير 2012, 9:17 pm